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精密絲杠加工誤差數(shù)學模型分析
1 引言
精密絲杠是精密機床、數(shù)控機床及其它精密機械與儀器的重要傳動裝置。為起到將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為直線運動的傳動作用，對精密絲杠的精度、剛度、耐磨性等均提出了較高要求。為減小殘余應(yīng)力的影響，絲杠毛坯須經(jīng)球化退火處理，以獲得穩(wěn)定的球狀珠光體組織；為提高絲杠加工系統(tǒng)剛度，需采用高同軸度的跟刀架或?qū)椎容o助支承。引起絲杠加工誤差的主要影響因素為熱變形和殘余應(yīng)力。目前通常采用冷卻降溫法或熱變形補償法來提高絲杠加工精度。冷卻降溫法是通過直接降低精密絲杠的加工溫度以減小熱變形量；熱變形補償法則是通過建立絲杠加工時的熱變形數(shù)學模型或根據(jù)檢測加工結(jié)果由補償裝置對絲杠進行誤差補償。采用數(shù)學建模與實際檢測相結(jié)合的方法進行誤差補償對于提高絲杠加工精度效果較好。精密絲杠的熱變形主要源于砂輪磨削加工產(chǎn)生的環(huán)狀移動熱源在絲杠上產(chǎn)生溫度分布引起的熱膨脹，因此在熱變形數(shù)學建模中需考慮的因素有：磨削熱形成的熱源特征、熱源的移動性、熱量沿桿件的傳導特征、熱量的散熱特征等。此外，加工后的殘余應(yīng)力對絲杠尺寸的影響也不容忽視。
2 精密絲杠溫度分布數(shù)學模型的建立
數(shù)學建模時，首先需對精密絲杠作如下假設(shè)：①絲杠材料具有彈性、連續(xù)、均勻、各向同性的特性，且絲杠內(nèi)無初應(yīng)力（已經(jīng)過時效處理）；②絲杠螺紋部分的尺寸與絲杠直徑相比很小，其對絲杠內(nèi)部熱傳導的影響可忽略不計，即絲杠可簡化為圓柱體；③絲杠兩端絕熱。磨削加工絲杠時所產(chǎn)生的磨削熱約有60%～95%被傳入被磨絲杠中。由于磨削速度*，熱量瞬間聚集在絲杠表面形成局部高溫，隨著砂輪沿絲杠軸向進給，熱量向絲杠兩端及內(nèi)部傳導，同時與絲杠表面的冷卻介質(zhì)發(fā)生對流換熱。因此，絲杠磨削加工時的熱量傳播方式主要包括磨削表面所需表面能、殘留于表面和磨屑中的應(yīng)變能、砂輪的溫升、絲杠內(nèi)部的熱傳導、絲杠與冷卻介質(zhì)的對流換熱等。傳入絲杠內(nèi)部熱量的主要傳播方式為絲杠內(nèi)部熱傳導和絲杠表面與冷卻介質(zhì)的對流換熱。 磨削絲杠時，可將砂輪視為環(huán)狀移動面熱源，其在柱狀工件內(nèi)的熱量傳播方式。根據(jù)Fourier熱傳導基本定律，可求解此環(huán)狀移動熱源所引起的絲杠各點位置溫度。絲杠內(nèi)部熱傳導可按非穩(wěn)態(tài)溫度場的柱坐標基本微分方程求解，即
| （3） |
式中：T——絲杠各點溫度
| T|τ=0=T0（r,z） | （2） | |||||
| （3） |
| （4） |
| （5） |
由式（1）解析算法計算絲杠各點溫度值非常繁瑣，故通常采用數(shù)值算法進行近似計算。
上述計算方法建立在式（1）基礎(chǔ)上，式（1）的導熱微分方程是能量守恒定律的一種數(shù)學表達，但它僅考慮熱量在固體內(nèi)部傳導時的能量守恒狀態(tài)，并未包括對流換熱、輻射等其它熱傳播方式引起的能量分布狀況。因此，當考慮對流換熱、輻射等熱傳播方式時，應(yīng)將其影響作為初始邊界條件對導熱微分方程的解進行校正，如式（2）、（3）。式（3）中第三類邊界條件包含絲杠表面溫度Tω，其值需通過理論計算進行預(yù)測，在實際加工中不易獲知。式（3）中的Tω是針對特定的絲杠及環(huán)境條件通過實驗測得的，計算出的理論預(yù)測解也只有在這些特定條件下才成立，而實際加工中絲杠的種類、材料、尺寸精度等均不相同。此外，因式（5）計算過程復雜，通常采用數(shù)值逼近的近似算法，這也限制了它在生產(chǎn)上的應(yīng)用。本文基于能量守恒定律，考慮了對流換熱等不同熱傳播方式的影響，提出一種更為簡便的解析計算方法。由于絲杠的直徑/長度比較小，故可將計算模型看作求解面熱源在柱狀工件中引起的溫度分布。以dx
| 微元體為研究對象，左端單位面積、單位時間內(nèi)輸入的熱量為qx，右端輸出熱量為 | qx | dx+qx，即 |
| dx |
| dQout=πr2（qx+ | dqx | dx） |
| Est=ρc | dT | dv=ρc | dT | πr2dx |
| dt | dt |
| ρc | ∂T | ——絲杠單位容積的內(nèi)能隨時間的變化速率 |
| ∂t |
當砂輪磨削絲杠一段時間后，絲杠內(nèi)部熱量處于相對平衡狀態(tài)，此時的熱變形量相對穩(wěn)定，dT/dt≈0，故微元體內(nèi)部存能項Est≈0。設(shè)絲杠冷卻介質(zhì)溫度為T0，發(fā)熱系數(shù)為λ，則dx段從表面散失的熱量為
| d2 | = | 2λ | （T-T0） |
| dx2 | kr |
| T=T0+ce |
|
| （8） |
| 1 | δQ=2πrα | ∫ | ∞ | （T-T0）dx |
| 2 | 0 |
將式（8）代入上式，可得
| D= | δQ | 1 | ||
| 2πr |
|
| （9） |
| （10） |
3 精密絲杠熱變形數(shù)學模型的建立
設(shè)絲杠的平均線熱膨脹系數(shù)為α。當面熱源位于絲杠某位置時，絲杠處于熱平衡狀態(tài)，此時絲杠內(nèi)所含熱量對于該持續(xù)熱源來說處于飽和狀態(tài)。當該熱源移動至另一新位置時，絲杠各點熱量將重新分配，因熱源穩(wěn)定提供一定熱量，故絲杠內(nèi)部所含熱量始終相等。由式
可得
可知，當絲杠中的熱量相等時，無論熱量如何分布，絲杠的溫度總和仍相同。若持續(xù)熱源位于絲杠的不同位置，在絲杠上將產(chǎn)生不同的溫度分布函數(shù)f1（x），f2（x）且
由此可知，當采用平均線膨脹系數(shù)進行計算時，移動熱源在任何位置引起的絲杠熱膨脹量均相同，因此可用固定熱源代替移動熱源，從而可簡化計算而不會影響計算精度。絲杠dx段的溫度為T-T0，該段的熱變形量為
| （11） |
4 殘余應(yīng)力對精密絲杠尺寸的影響
（1）殘余應(yīng)力引起的絲杠尺寸變化
殘余應(yīng)力對精密絲杠尺寸的影響在工程應(yīng)用中長期被忽略，主要原因是這一影響在加工完畢后不易立即發(fā)現(xiàn)，而是表現(xiàn)為較長時期的緩慢作用。絲杠經(jīng)較長時間使用后，相當于進行了自然時效處理，絲杠中的殘余應(yīng)力逐漸釋放和減小，絲杠尺寸也會隨之發(fā)生變化，甚至可能引起較大變形。
假定絲杠為*彈性體；絲杠的切向殘余應(yīng)力為σθ，軸向殘余應(yīng)力為σz，徑向殘余應(yīng)力為σr；加工后絲杠的標準尺寸為半徑r0，長度L0；經(jīng)自然時效處理后，絲杠的半徑和長度分別由r0、L0變?yōu)閞、L。可將絲杠看作尺寸為r的長軸在應(yīng)力σθ、σz和σr作用下變形至r0和L0的平衡狀態(tài)。當施加相反應(yīng)力-σθ、-σz和-σr時，因工件為*彈性體，故絲杠應(yīng)由r0和L0返回加工后的原狀態(tài)。
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| （13） |
| （14） |
（2）計算實例
已知：精密絲杠長度L=1600mm，直徑r=60mm，彈性模量E=21×104MPa，泊松比µ=0.26，磨削后的殘余應(yīng)力分布。橫坐標h表示距表面深度（mm），縱坐標σ表示殘余應(yīng)力（MPa），實線表示軸向應(yīng)力，虛線表示切向應(yīng)力。
| （15） |
| （16） |
5 結(jié)語
在精密絲杠的磨削加工中，磨削熱是引起絲杠加工誤差的主要影響因素。絲杠熱變形的計算通常需要根據(jù)實際加工情況建立溫度分布數(shù)學模型，但實際加工情況的復雜性（如持續(xù)放熱移動熱源）增加了數(shù)學建模難度。而基于能量守恒定律，采用平均線膨脹系數(shù)進行計算，則只需考慮熱量含量相同的任一溫度分布狀況的熱變形計算，可在保持原有精度的前提下大大簡化數(shù)學模型，使絲杠熱變形的計算變得簡潔、方便，因此在實際工程應(yīng)用中具有較高實用價值。
在精密絲杠使用一段時間后，因殘余應(yīng)力釋放引起的絲杠變形誤差也不容忽視，為此必須對磨削加工引起的殘余應(yīng)力分布狀況進行計算，并據(jù)此進行誤差補償。目前對磨削殘余應(yīng)力的研究多集中于對實驗數(shù)據(jù)的分析，而從理論上確定磨削加工殘余應(yīng)力分布狀況則是今后需要深入研究且具有應(yīng)用價值的工作。
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