1 橢圓曲線擬合的砂輪修形原理在刃磨螺旋槽滾刀時(shí)，砂輪的磨削面會(huì)與滾刀的前刀面發(fā)生干涉，使磨削出的滾刀前刀面出現(xiàn)畸變，呈中凸形，從而使加工出來的齒輪齒形畸變，節(jié)線附近出現(xiàn)中凹，無法正常嚙合，因此，在刃磨大螺旋槽滾刀時(shí)，必須用相應(yīng)的砂輪修形裝置來對(duì)砂輪的磨削面進(jìn)行正確修形。磨削大螺旋角滾刀時(shí)的嚙合線是一條十分復(fù)雜的空間曲線（嚙合方程見參考文獻(xiàn)[1]），反映出的砂輪軸截形也十分復(fù)雜，通常難以用顯式函數(shù)予以描述，只能通過求解嚙合方程得到砂輪軸截形的數(shù)值解，即用一系列點(diǎn)的坐標(biāo)描述:{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}。從相關(guān)文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果來看，盡管砂輪軸截形的曲線復(fù)雜，但十分光滑，在整個(gè)工作區(qū)段內(nèi)曲率呈均勻連續(xù)變化，無尖點(diǎn)、無突變，呈中凸形。砂輪的軸截形與滾刀參數(shù)、砂輪直徑密切相關(guān)，不同的滾刀、砂輪有不同的砂輪軸截形，因此，必須有一種砂輪修形裝置能對(duì)不同的滾刀砂輪進(jìn)行調(diào)整。鑒于這種情況，我們利用“橢圓曲線擬合”的方法設(shè)計(jì)了如圖1所示的砂輪修形儀，進(jìn)口機(jī)床AGW482就是利用該方法來對(duì)砂輪進(jìn)行修形的，這里我們針對(duì)國產(chǎn)機(jī)床進(jìn)行了改進(jìn)。為所設(shè)計(jì)修形儀的結(jié)構(gòu)原理圖。廓形塊上面有一下凹的圓弧面r，當(dāng)廓形塊繞自身軸線y1轉(zhuǎn)過一個(gè)角度α（由量塊或游標(biāo)卡尺測量距離E1）時(shí)，相當(dāng)于平面斜截圓弧面，形成橢圓曲線f（x，y）。廓形塊下有一托盤，可帶動(dòng)廓形塊繞軸線z1轉(zhuǎn)過一個(gè)角度β（由量塊或游標(biāo)卡尺測量距離E3），相當(dāng)于改變橢圓相對(duì)于砂輪截形的傾角。支架可帶動(dòng)廓形塊沿x1方向移動(dòng)，位置由量塊或游標(biāo)卡尺測量距離E2。靠模螺釘可微調(diào)橢圓相對(duì)于砂輪磨削面的高低位置由E4決定。為方便研究，建立如圖2所示的坐標(biāo)系。σ（oxy）為砂輪軸截形坐標(biāo)系，σ1（o1-x1y1）為橢圓坐標(biāo)系，原點(diǎn)o1在σ（o-xy）的坐標(biāo)為（x0，y0）。利用坐標(biāo)變換可得到橢圓在砂輪軸截形坐標(biāo)系σ（o-xy）中的方程為:f（x，y）=[（x-x0）sinβ-（y-y0）cosβ]2sin2α+[（y-y0）sinβ-（x-x0）cosβ]2-r2=0（1）由于r值對(duì)橢圓形狀影響較大，我們做了三個(gè)廓形塊（快換，分別加工成不同圓弧面）以供選擇，r=30，45，60mm。這樣只要E1、E2、E3、E4、r五個(gè)參量選得合適，就能獲得一條與砂輪軸截形擬合度較高的橢圓曲線段來對(duì)砂輪進(jìn)行修形。
       2 修形儀調(diào)整參數(shù)的優(yōu)化計(jì)算要確定橢圓方程（1）:f（x，y），需要給定一組{α，β，x0，y0，r}值，問題的關(guān)鍵在于找到一組{α，β，x0，y0，r}值，使橢圓曲線f（x，y）與砂輪軸截形曲線（即理論廓形:{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}）間的誤差zui小，在這里引入了下列優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。2.1修形儀調(diào)整參數(shù)的優(yōu)化模型選取{α，β，x0，y0，r}為設(shè)計(jì)變量:X=[α，β，x0，y0，r]T，修形儀調(diào)整參數(shù){E1，E2，E3，E4}由橢圓的形狀及位置參數(shù){α，β，x0，y0，r}計(jì)算得到。當(dāng)把砂輪軸截形曲線若干離散點(diǎn)的坐標(biāo){Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}代入橢圓方程（1）:f（x，y）時(shí)，有剩余誤差:εi=fi（xi，yi）:i=1，2，…n。為使橢圓曲線與砂輪軸截形曲線擬合誤差（即總的剩余誤差εI）zui小，可以把剩余誤差的均方差的平方和剩余誤差平方的zui大值作為我們的優(yōu)化目標(biāo)，即使均方差和zui大偏差zui小。兩者取相同的權(quán)重，則優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為Ø（X）=1nΣi=1（ω-&εi）2+max（ε2i）n-1（2）式中ω為平均誤差，ω=1nΣi=1εin這樣該目標(biāo)函數(shù)既控制了擬合的總誤差，也可防止個(gè)別點(diǎn)出現(xiàn)大的偏差。根據(jù)修形儀和機(jī)床的結(jié)構(gòu)，可以建立約束函數(shù)。2.2程序設(shè)計(jì)及計(jì)算求解上述優(yōu)化問題采用的是懲罰函數(shù)法（SUMT），程序中調(diào)用了無約束優(yōu)化鮑威爾法（POWELL）。程序自動(dòng)生成罰函因子r0，經(jīng)過試算修改后可以較好地保證收斂速度和計(jì)算精度，對(duì)調(diào)整參數(shù){E1，E2，E3，E4}的計(jì)算精度可達(dá)到0.01～0.001mm。選定一把帶有螺旋容屑槽的滾刀，滾刀參數(shù)為:滾刀外徑d=158.5mm，前刀面導(dǎo)程H=2300mm，螺旋角θ=10°15'47"，前刀面深T=31mm，選取砂輪直徑D=150mm。計(jì)算結(jié)果如下:設(shè)計(jì)變量X=[α，β，x0，y0，r]T=[4.89，4.08，-24.09，49.39，30]T，目標(biāo)函數(shù)Ø（X）=0.2906752，調(diào)整參數(shù){E1，E2，E3，E4}={13.66，15.05，9.86，8.10}。
       3 擬合誤差分析計(jì)算由于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)并不能直觀地反映擬合誤差的大小、方向和分布情況，因此我們有必要對(duì)擬合誤差進(jìn)行理論分析，以檢驗(yàn)所建優(yōu)化模型是否正確。由于砂輪的法向誤差對(duì)滾刀的磨削精度影響較大，同時(shí)也比較直觀，因此我們選取砂輪的法向誤差進(jìn)行分析。3.1法向誤差的求解過橢圓（即實(shí)際廓形）上任意一點(diǎn)Q（x'，y'）作法線，與砂輪軸截形曲線（即理論廓形）交于一點(diǎn)P（xi，yi），則該法線方程為y-yi=k（x-xi）（3）式中法線斜率k可由橢圓方程（1）求出，即k=-dx/dy（4）PQ兩點(diǎn)之間的距離即為Q點(diǎn)的法向誤差，有δi=±√（xi-x'）2+（yi-y'）2（5）規(guī)定當(dāng)誤差為正值時(shí)，砂輪實(shí)際點(diǎn)在理論點(diǎn)之外，為負(fù)值時(shí)實(shí)際點(diǎn)在理論點(diǎn)之內(nèi)。P（xi，yi）為{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}上的已知點(diǎn)，由式（1），（3）和（4）可求出法線與橢圓（有效段）的交點(diǎn)坐標(biāo)Q（x'，y'），由式（5）可得到Q點(diǎn)的法向誤差δi，通過比較P和Q兩點(diǎn)坐標(biāo)值的大小，可以判斷法向誤差的正負(fù)。把{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}各點(diǎn)代入式（5）即可求得各擬合點(diǎn)的法向誤差δi，由此可直觀地看出沿徑向（砂輪廓形方向）擬合誤差的分布情況（見圖3）。3.2程序設(shè)計(jì)及計(jì)算在上述計(jì)算法向誤差的過程中，需要反復(fù)求解一個(gè)一元高次方程，為此我們編制了計(jì)算程序。由于解的區(qū)間較易確定，我們采用了二分法[3]。對(duì)上述優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行誤差分析，并由計(jì)算機(jī)直接輸出圖3所示的各點(diǎn)擬合誤差的誤差分布情況。其中zui大偏差δmax=0.000824mm，平均誤差ω=0.000281mm，均方根差σ=0.000359mm。從以上誤差分析可以看出，擬合精度足以滿足砂輪修形的要求。
        4 試驗(yàn)及結(jié)論針對(duì)上述求解過程所編制的完整計(jì)算程序能對(duì)任意一把要刃磨的螺旋槽滾刀進(jìn)行計(jì)算。其程序運(yùn)行過程如下:輸入滾刀參數(shù)→計(jì)算砂輪軸截形→優(yōu)化修形儀調(diào)整參數(shù)計(jì)算擬合誤差→輸出數(shù)據(jù)及圖形。我們選取螺旋角在5～22°之間的滾刀，應(yīng)用該程序進(jìn)行計(jì)算，理論上擬合誤差大都在0.01～0.001mm之間。用該修形儀對(duì)砂輪進(jìn)行修形磨刀試驗(yàn)，其刃磨滾刀前刀面的實(shí)際誤差在0.02～0.07mm之間。基本上通過一次刃磨即能達(dá)到*滾刀精度的要求。經(jīng)上述計(jì)算和試驗(yàn)證明，所建模型正確，而且設(shè)計(jì)的砂輪修形儀比進(jìn)口機(jī)床AGW482修形裝置的調(diào)整參數(shù)更多，修形精度更高。編制的調(diào)整參數(shù)計(jì)算程序能對(duì)任意一把滾刀進(jìn)行計(jì)算，通過調(diào)整修形儀修整砂輪對(duì)滾刀進(jìn)行刃磨，解決了國產(chǎn)滾刀磨床刃磨大螺旋角滾刀時(shí)砂輪修形的難題。該修形儀可用在多種滾刀磨床上，對(duì)現(xiàn)有國產(chǎn)機(jī)床進(jìn)行改造也不失為一種簡單易行、經(jīng)濟(jì)可靠的方法。