機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能設(shè)計(jì)是機(jī)床方案設(shè)計(jì)中首先要進(jìn)行的工作，傳統(tǒng)的機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能的設(shè)計(jì)方法主要是以現(xiàn)有的機(jī)床設(shè)計(jì)實(shí)例為基礎(chǔ)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)和類比設(shè)計(jì)。這種方法簡(jiǎn)單，但創(chuàng)新性差，是造成目前機(jī)床產(chǎn)品單一化的主要原因。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品的需求是多品種、小批量，為了快速、經(jīng)濟(jì)地滿足市場(chǎng)需要，從理論上研究并建立不依賴先驗(yàn)知識(shí)的機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能的設(shè)計(jì)方法是非常必要的，這對(duì)全新性的機(jī)床設(shè)計(jì)具有重要意義。今介紹一種基于刀具和工件加工表面信息并通過(guò)解析進(jìn)行機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能設(shè)計(jì)的方法，即機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能的創(chuàng)成式設(shè)計(jì)方法。該方法在二維曲面加工中的應(yīng)用已在文獻(xiàn)［1］中介紹。本文將介紹這種方法的進(jìn)一步研究成果，并以一個(gè)三坐標(biāo)機(jī)床為例，詳細(xì)介紹其運(yùn)動(dòng)功能方案設(shè)計(jì)的全過(guò)程。

2　刀具工件信息描述方法

　　創(chuàng)成式機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)是刀具切削面的概念［1］，刀具切削面是指刀具上能夠與被加工表面相對(duì)接觸的表面，它是一個(gè)廣義的面，可以是點(diǎn)、線、面（隨切削面類型不同而異）。對(duì)于如圖1所示的片銑刀加工外圓柱表面的情況，刀具切削面就是繞刀具軸線的圓線；若為圓柱銑刀，其切削面就是一個(gè)圓柱面；若為端銑刀，其切削面為平面圓線，等等。這時(shí)的刀具切削面是由刀具自身的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)創(chuàng)成，創(chuàng)成這種刀具切削面僅需一個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)即可。

圖1　片銑刀加工外圓柱面示意圖

2.1　刀具切削面的數(shù)學(xué)描述方法
　　采用齊次函數(shù)矩陣的形式［2］來(lái)描述刀具切削面，如圖1中OP為切削面坐標(biāo)系，OC為切削面上點(diǎn)的坐標(biāo)系，XC坐標(biāo)指向刀具的實(shí)體材料方向，r為刀具的回轉(zhuǎn)半徑。這樣可以在OP坐標(biāo)系中描述刀具切削面如下：

       （1）

其中，CγP＝cos（γP），SγP＝sin（γP），｛xC｝C為OC坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)列陣，｛xC｝P為OP坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)列陣，［TPC］為刀具切削面的描述矩陣。
2.2　加工表面的數(shù)學(xué)描述方法
　　仍然采用齊次函數(shù)矩陣的形式進(jìn)行描述。如圖2中，OW為工件坐標(biāo)系，OS為加工表面上一點(diǎn)處的坐標(biāo)系，取XS坐標(biāo)指向加工表面的外法向，YS坐標(biāo)為加工表面的母線的切線方向。這樣可以求得OW坐標(biāo)系中加工表面的描述式：

       （2）

式中［WTS］——加工表面的描述矩陣

圖2　工件加工表面描述坐標(biāo)系

2.3　刀具位姿條件的確定
　　有了刀具切削面的概念，那么機(jī)床上加工表面的創(chuàng)成過(guò)程就可以描述為刀具切削面相對(duì)于被加工表面移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)而創(chuàng)成被加工表面。在這個(gè)過(guò)程中，刀具相對(duì)被加工表面要保證接觸，并不發(fā)生干涉，即滿足一定的接觸條件和干涉條件，這樣刀具（OP）和工件（OW）之間就有一定的位置和姿態(tài)要求，這種相對(duì)關(guān)系可以用刀具的位姿矩陣［WTP］來(lái)描述。
　　切削面與被加工表面的接觸條件是OC坐標(biāo)系與OS坐標(biāo)系重合，由此可以推導(dǎo)出刀具相對(duì)工件的位置姿態(tài)矩陣：
　　［WTP］＝［WTS］.［TPC］－1     （3）

　　從上述公式可以看出：［WTP］包含了刀具和工件的信息。［WTP］是機(jī)床運(yùn)動(dòng)創(chuàng)成過(guò)程中應(yīng)滿足的條件。D對(duì)上述所得的刀具位姿矩陣還要進(jìn)行必要的干涉檢查，主要檢查刀刃上其他各點(diǎn)是否與加工表面發(fā)生干涉現(xiàn)象，若不發(fā)生干涉則說(shuō)明所求的刀具位姿矩陣可行。

3　機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能方案的設(shè)計(jì)方法

　　有了刀具的位姿矩陣，那么現(xiàn)在需要解決的問(wèn)題是如何通過(guò)［WTP］來(lái)確定出機(jī)床加工中刀具和工件之間所必需的運(yùn)動(dòng)單元的數(shù)目、排序等。本文主要研究串聯(lián)式機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能設(shè)計(jì)問(wèn)題，我們以O(shè)P和OW之間的運(yùn)動(dòng)級(jí)聯(lián)矩陣［TWP］來(lái)實(shí)現(xiàn)［WTP］（如圖3示），即
　　［TWP］＝［WTP］     （4）

圖3　刀具位姿矩陣與運(yùn)動(dòng)級(jí)聯(lián)矩陣的關(guān)系

　　通過(guò)求解上式就可以得到機(jī)床的運(yùn)動(dòng)功能，［TWP］中的每一個(gè)運(yùn)動(dòng)單元排列即代表一個(gè)運(yùn)動(dòng)方案，這是一個(gè)多解的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，直接求解是很困難的。本文根據(jù)串聯(lián)式運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)及加工表面的創(chuàng)成原理，給出一種分層式的解析方法。若設(shè)被加工表面為S（u,v），當(dāng)v＝const時(shí)為母線，當(dāng)u＝const時(shí)為導(dǎo)線。其解析步驟如下：
　　（1）確定被加工表面的母線和導(dǎo)線；
　　（2）創(chuàng)成加工母線時(shí)的運(yùn)動(dòng)功能解析：
　　確定創(chuàng)成母線時(shí)的刀具位姿矩陣［WTP］u，根據(jù)［WTP］u的特征設(shè)置運(yùn)動(dòng)級(jí)聯(lián)矩陣［TWP］u，且使
　　［TWP］u＝［WTP］u     （5）

　　求解式（5），若求解出的運(yùn)動(dòng)單元是u的函數(shù)，則表明該運(yùn)動(dòng)單元是必須的，否則所設(shè)置的運(yùn)動(dòng)單元是多余的。由此可以確定出創(chuàng)成母線時(shí)所需的運(yùn)動(dòng)單元。
　　（3）創(chuàng)成加工導(dǎo)線時(shí)的運(yùn)動(dòng)功能解析：
　　方法同上；
　　（4）創(chuàng)成母線和導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)單元的綜合：
　　將創(chuàng)成母線和創(chuàng)成導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)單元進(jìn)行綜合，形成創(chuàng)成加工表面時(shí)的基本運(yùn)動(dòng)單元的組合式。
　　（5）對(duì)創(chuàng)成被加工表面的基本運(yùn)動(dòng)單元進(jìn)行擴(kuò)展，創(chuàng)成出所有可能的運(yùn)動(dòng)功能方案。
　　本文所采用的運(yùn)動(dòng)單元的符號(hào)及其與坐標(biāo)的關(guān)系如圖4所示。

圖4　運(yùn)動(dòng)單元與基準(zhǔn)坐標(biāo)系

4　舉例分析

　　如圖1所示，應(yīng)用片銑刀加工圓柱表面，分別建立OW、OP、OS、OC坐標(biāo)系，其中加工母線為用θZW描述的圓；導(dǎo)線為用Z描述的直線；γP為刀具的切削運(yùn)動(dòng)角；R為被加工圓柱的半徑。按照前述介紹的方法進(jìn)行機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能的解析。
　　（1）創(chuàng)成母線的刀具位姿矩陣：

      （6）

式中　CθZW－γP＝cos（θZW－γP）
　　　SθZW－γP＝sin（θZW－γP）
考慮到式（6）的姿態(tài)項(xiàng)和位置項(xiàng)的特征，設(shè)置如下的運(yùn)動(dòng)級(jí)聯(lián)矩陣：

      （7）

其中，b1，a2，a3，b3，aP，bP為各運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系之間的平移坐標(biāo)變換，X，Y方向的平移量則包含在X，Y之中。
　　由［TWP］u＝［WTP］u得，

      （8）

　　上式中有X、Y、γ、γP四個(gè)運(yùn)動(dòng)變量，但只有三個(gè)方程式，因此是一個(gè)多解方程組，有下述三個(gè)解：
　　解1：令γ＝0，則由方程組可*定出γP、X、Y是θZW的函數(shù)。
　　解2：令X＝0，則由方程組可*定出γ、γp、Y是θZW的函數(shù)。
　　解3：令Y＝0，則由方程組可*定出γ、γP、X是θZW的函數(shù)。
　　這三組解可以用運(yùn)動(dòng)組合式的形式寫(xiě)出，即：

W/XY/γP／T，W／Xγ／γP／T，W／Yγ／γP／T

上述的運(yùn)動(dòng)組合式表示從刀具到工件之間的運(yùn)動(dòng)單元組合情況，其中該式的左邊“W”表示工件，右邊“T”表示刀具，中間的運(yùn)動(dòng)單元表示OW和OP之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)組合。
　　上式是包含有直線運(yùn)動(dòng)的情況，對(duì)于全為回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)單元的運(yùn)動(dòng)情況，考慮到式（6）的特征，可設(shè)置雙γ的運(yùn)動(dòng)級(jí)聯(lián)矩陣，同理求得運(yùn)動(dòng)組合式W/γγ／γP／T。
　　（2）創(chuàng)成導(dǎo)線時(shí)的運(yùn)動(dòng)解析：創(chuàng)成導(dǎo)線時(shí)的刀具位姿矩陣為

      （9）

　　可以看出，上式中的姿態(tài)項(xiàng)無(wú)變量，因此創(chuàng)成導(dǎo)線時(shí)僅需要一個(gè)運(yùn)動(dòng)單元：Z。
　　（3）將創(chuàng)成母線和導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)單元進(jìn)行綜合，得到創(chuàng)成圓柱面所需的運(yùn)動(dòng)組合式：
　　W／XYZ／γp／T，W／XZγ／γp／T，W／YZγ／γp／T，W／γγZ／γp／T
其中W／XYZ／γp／T，W／XZγ／γp／T是相同的，取其中之一即可。
　　（4）機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能方案生成：上式所得的組合式僅代表OP和OW之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的個(gè)數(shù)和性質(zhì)，對(duì)該式中的運(yùn)動(dòng)單元進(jìn)行排列即可得到各種方案。在滿足式（4）的條件下共可得到以下15種方案（用創(chuàng)成運(yùn)動(dòng)式來(lái)表示）：
　　W／XYZ／γp／T，W／XZY／γp／T，W／YXZ／γp／T，W／YZX／γp／T，W／ZXY／γp／T，W／ZYX／γp／T，
　　W／XZγ／γp／T，W／XγZ／γp／T，W／ZXγ／γp／T，W／ZγX／γp／T，W／γXZ／γp／T，W／γZX／γp／T，
　　W／Zγγ／γp／T，W／γZγ／γp／T，W／γγZ／γp／T
　　這15種運(yùn)動(dòng)方案是片銑刀創(chuàng)成圓柱面時(shí)的所有可能的運(yùn)動(dòng)方案，代表著刀具和工件之間所需的運(yùn)動(dòng)單元組合排列方案。
　　以上述所得到的運(yùn)動(dòng)功能方案為基礎(chǔ)，進(jìn)行機(jī)床的結(jié)構(gòu)方案創(chuàng)成時(shí)，還需對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)功能分配，即以底座為基準(zhǔn)，將運(yùn)動(dòng)單元分配給刀具一側(cè)和工件一側(cè)，從而又可以得到多種運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)式，如對(duì)于創(chuàng)成運(yùn)動(dòng)式W／XYZ／γp／T，其運(yùn)動(dòng)功能的分配方法就有4種，底座用“.”表示，則有
　　W／.XYZ／γp／T，W／X .YZ／γp／T，W／XY .Z／γp／T，W／XYZ .／γp／T
　　因此，從上述15種創(chuàng)成運(yùn)動(dòng)式就可以得到60種運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)式，然后，以這60種運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)式為基礎(chǔ)進(jìn)行機(jī)床總體結(jié)構(gòu)布局方案的創(chuàng)成，就可以得到各種可能的機(jī)床結(jié)構(gòu)布局方案，供具體設(shè)計(jì)時(shí)選用。
　　以上僅以片銑刀加工圓柱表面為例介紹了機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能方案的設(shè)計(jì)規(guī)劃方法，這種方法具有通用性，同樣適用于其他類型的刀具和加工表面的情況。對(duì)于零件群加工情況，可通過(guò)運(yùn)動(dòng)綜合來(lái)規(guī)劃?rùn)C(jī)床的運(yùn)動(dòng)功能。

5　結(jié)論

　　本文提出了以刀具和工件為輸入信息的機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能方案的創(chuàng)成方法。通過(guò)定義刀具切削面，提出了以刀具位姿矩陣來(lái)描述被加工表面和刀具之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，給出了用運(yùn)動(dòng)級(jí)聯(lián)矩陣實(shí)現(xiàn)刀具位姿的方法和解析創(chuàng)成機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能方案的步驟，算例分析表明本文所提出的方法具有通用性，可以有效地創(chuàng)成出所有可能的機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能方案，為建立不依賴先驗(yàn)知識(shí)的新型機(jī)床運(yùn)動(dòng)功能方案的設(shè)計(jì)方法，提供理論依據(jù)。