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精密絲杠加工誤差數(shù)學(xué)模型分析
閱讀：3135 發(fā)布時(shí)間：2010-4-11 引言
精密絲杠是精密機(jī)床、數(shù)控機(jī)床及其它精密機(jī)械與儀器的重要傳動(dòng)裝置。為起到將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為直線運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)作用，對(duì)精密絲杠的精度、剛度、耐磨性等均提出了較高要求。為減小殘余應(yīng)力的影響，絲杠毛坯須經(jīng)球化退火處理，以獲得穩(wěn)定的球狀珠光體組織；為提高絲杠加工系統(tǒng)剛度，需采用高同軸度的跟刀架或?qū)椎容o助支承。引起絲杠加工誤差的主要影響因素為熱變形和殘余應(yīng)力。目前通常采用冷卻降溫法或熱變形補(bǔ)償法來(lái)提高絲杠加工精度。冷卻降溫法是通過(guò)直接降低精密絲杠的加工溫度以減小熱變形量；熱變形補(bǔ)償法則是通過(guò)建立絲杠加工時(shí)的熱變形數(shù)學(xué)模型或根據(jù)檢測(cè)加工結(jié)果由補(bǔ)償裝置對(duì)絲杠進(jìn)行誤差補(bǔ)償。采用數(shù)學(xué)建模與實(shí)際檢測(cè)相結(jié)合的方法進(jìn)行誤差補(bǔ)償對(duì)于提高絲杠加工精度效果較好。精密絲杠的熱變形主要源于砂輪磨削加工產(chǎn)生的環(huán)狀移動(dòng)熱源在絲杠上產(chǎn)生溫度分布引起的熱膨脹，因此在熱變形數(shù)學(xué)建模中需考慮的因素有：磨削熱形成的熱源特征、熱源的移動(dòng)性、熱量沿桿件的傳導(dǎo)特征、熱量的散熱特征等。此外，加工后的殘余應(yīng)力對(duì)絲杠尺寸的影響也不容忽視。
2 精密絲杠溫度分布數(shù)學(xué)模型的建立
數(shù)學(xué)建模時(shí)，首先需對(duì)精密絲杠作如下假設(shè)：①絲杠材料具有彈性、連續(xù)、均勻、各向同性的特性，且絲杠內(nèi)無(wú)初應(yīng)力（已經(jīng)過(guò)時(shí)效處理）；②絲杠螺紋部分的尺寸與絲杠直徑相比很小，其對(duì)絲杠內(nèi)部熱傳導(dǎo)的影響可忽略不計(jì)，即絲杠可簡(jiǎn)化為圓柱體；③絲杠兩端絕熱。磨削加工絲杠時(shí)所產(chǎn)生的磨削熱約有60%～95%被傳入被磨絲杠中。由于磨削速度*，熱量瞬間聚集在絲杠表面形成局部高溫，隨著砂輪沿絲杠軸向進(jìn)給，熱量向絲杠兩端及內(nèi)部傳導(dǎo)，同時(shí)與絲杠表面的冷卻介質(zhì)發(fā)生對(duì)流換熱。因此，絲杠磨削加工時(shí)的熱量傳播方式主要包括磨削表面所需表面能、殘留于表面和磨屑中的應(yīng)變能、砂輪的溫升、絲杠內(nèi)部的熱傳導(dǎo)、絲杠與冷卻介質(zhì)的對(duì)流換熱等。傳入絲杠內(nèi)部熱量的主要傳播方式為絲杠內(nèi)部熱傳導(dǎo)和絲杠表面與冷卻介質(zhì)的對(duì)流換熱。 磨削絲杠時(shí)，可將砂輪視為環(huán)狀移動(dòng)面熱源，其在柱狀工件內(nèi)的熱量傳播方式。根據(jù)Fourier熱傳導(dǎo)基本定律，可求解此環(huán)狀移動(dòng)熱源所引起的絲杠各點(diǎn)位置溫度。絲杠內(nèi)部熱傳導(dǎo)可按非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的柱坐標(biāo)基本微分方程求解，即
| （3） |
式中：T——絲杠各點(diǎn)溫度
| T|τ=0=T0（r,z） | （2） | |||||
| （3） |
| （4） |
| （5） |
由式（1）解析算法計(jì)算絲杠各點(diǎn)溫度值非常繁瑣，故通常采用數(shù)值算法進(jìn)行近似計(jì)算。
上述計(jì)算方法建立在式（1）基礎(chǔ)上，式（1）的導(dǎo)熱微分方程是能量守恒定律的一種數(shù)學(xué)表達(dá)，但它僅考慮熱量在固體內(nèi)部傳導(dǎo)時(shí)的能量守恒狀態(tài)，并未包括對(duì)流換熱、輻射等其它熱傳播方式引起的能量分布狀況。因此，當(dāng)考慮對(duì)流換熱、輻射等熱傳播方式時(shí)，應(yīng)將其影響作為初始邊界條件對(duì)導(dǎo)熱微分方程的解進(jìn)行校正，如式（2）、（3）。式（3）中第三類(lèi)邊界條件包含絲杠表面溫度Tω，其值需通過(guò)理論計(jì)算進(jìn)行預(yù)測(cè)，在實(shí)際加工中不易獲知。式（3）中的Tω是針對(duì)特定的絲杠及環(huán)境條件通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的，計(jì)算出的理論預(yù)測(cè)解也只有在這些特定條件下才成立，而實(shí)際加工中絲杠的種類(lèi)、材料、尺寸精度等均不相同。此外，因式（5）計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，通常采用數(shù)值逼近的近似算法，這也限制了它在生產(chǎn)上的應(yīng)用。本文基于能量守恒定律，考慮了對(duì)流換熱等不同熱傳播方式的影響，提出一種更為簡(jiǎn)便的解析計(jì)算方法。由于絲杠的直徑/長(zhǎng)度比較小，故可將計(jì)算模型看作求解面熱源在柱狀工件中引起的溫度分布。以dx
| 微元體為研究對(duì)象，左端單位面積、單位時(shí)間內(nèi)輸入的熱量為qx，右端輸出熱量為 | qx | dx+qx，即 |
| dx |
| dQout=πr2（qx+ | dqx | dx） |
| Est=ρc | dT | dv=ρc | dT | πr2dx |
| dt | dt |
| ρc | ∂T | ——絲杠單位容積的內(nèi)能隨時(shí)間的變化速率 |
| ∂t |
當(dāng)砂輪磨削絲杠一段時(shí)間后，絲杠內(nèi)部熱量處于相對(duì)平衡狀態(tài)，此時(shí)的熱變形量相對(duì)穩(wěn)定，dT/dt≈0，故微元體內(nèi)部存能項(xiàng)Est≈0。設(shè)絲杠冷卻介質(zhì)溫度為T(mén)0，發(fā)熱系數(shù)為λ，則dx段從表面散失的熱量為
| d2 | = | 2λ | （T-T0） |
| dx2 | kr |
| T=T0+ce |
|
| （8） |
| 1 | δQ=2πrα | ∫ | ∞ | （T-T0）dx |
| 2 | 0 |
將式（8）代入上式，可得
| D= | δQ | 1 | ||
| 2πr |
|
| （9） |
| （10） |
3 精密絲杠熱變形數(shù)學(xué)模型的建立
設(shè)絲杠的平均線熱膨脹系數(shù)為α。當(dāng)面熱源位于絲杠某位置時(shí)，絲杠處于熱平衡狀態(tài)，此時(shí)絲杠內(nèi)所含熱量對(duì)于該持續(xù)熱源來(lái)說(shuō)處于飽和狀態(tài)。當(dāng)該熱源移動(dòng)至另一新位置時(shí)，絲杠各點(diǎn)熱量將重新分配，因熱源穩(wěn)定提供一定熱量，故絲杠內(nèi)部所含熱量始終相等。由式
可得
可知，當(dāng)絲杠中的熱量相等時(shí)，無(wú)論熱量如何分布，絲杠的溫度總和仍相同。若持續(xù)熱源位于絲杠的不同位置，在絲杠上將產(chǎn)生不同的溫度分布函數(shù)f1（x），f2（x）且
由此可知，當(dāng)采用平均線膨脹系數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，移動(dòng)熱源在任何位置引起的絲杠熱膨脹量均相同，因此可用固定熱源代替移動(dòng)熱源，從而可簡(jiǎn)化計(jì)算而不會(huì)影響計(jì)算精度。絲杠dx段的溫度為T(mén)-T0，該段的熱變形量為
| （11） |
4 殘余應(yīng)力對(duì)精密絲杠尺寸的影響
（1）殘余應(yīng)力引起的絲杠尺寸變化
殘余應(yīng)力對(duì)精密絲杠尺寸的影響在工程應(yīng)用中長(zhǎng)期被忽略，主要原因是這一影響在加工完畢后不易立即發(fā)現(xiàn)，而是表現(xiàn)為較長(zhǎng)時(shí)期的緩慢作用。絲杠經(jīng)較長(zhǎng)時(shí)間使用后，相當(dāng)于進(jìn)行了自然時(shí)效處理，絲杠中的殘余應(yīng)力逐漸釋放和減小，絲杠尺寸也會(huì)隨之發(fā)生變化，甚至可能引起較大變形。
假定絲杠為*彈性體；絲杠的切向殘余應(yīng)力為σθ，軸向殘余應(yīng)力為σz，徑向殘余應(yīng)力為σr；加工后絲杠的標(biāo)準(zhǔn)尺寸為半徑r0，長(zhǎng)度L0；經(jīng)自然時(shí)效處理后，絲杠的半徑和長(zhǎng)度分別由r0、L0變?yōu)閞、L。可將絲杠看作尺寸為r的長(zhǎng)軸在應(yīng)力σθ、σz和σr作用下變形至r0和L0的平衡狀態(tài)。當(dāng)施加相反應(yīng)力-σθ、-σz和-σr時(shí)，因工件為*彈性體，故絲杠應(yīng)由r0和L0返回加工后的原狀態(tài)。
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| （13） |
| （14） |
（2）計(jì)算實(shí)例
已知：精密絲杠長(zhǎng)度L=1600mm，直徑r=60mm，彈性模量E=21×104MPa，泊松比µ=0.26，磨削后的殘余應(yīng)力分布。橫坐標(biāo)h表示距表面深度（mm），縱坐標(biāo)σ表示殘余應(yīng)力（MPa），實(shí)線表示軸向應(yīng)力，虛線表示切向應(yīng)力。
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5 結(jié)語(yǔ)
在精密絲杠的磨削加工中，磨削熱是引起絲杠加工誤差的主要影響因素。絲杠熱變形的計(jì)算通常需要根據(jù)實(shí)際加工情況建立溫度分布數(shù)學(xué)模型，但實(shí)際加工情況的復(fù)雜性（如持續(xù)放熱移動(dòng)熱源）增加了數(shù)學(xué)建模難度。而基于能量守恒定律，采用平均線膨脹系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，則只需考慮熱量含量相同的任一溫度分布狀況的熱變形計(jì)算，可在保持原有精度的前提下大大簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，使絲杠熱變形的計(jì)算變得簡(jiǎn)潔、方便，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中具有較高實(shí)用價(jià)值。
在精密絲杠使用一段時(shí)間后，因殘余應(yīng)力釋放引起的絲杠變形誤差也不容忽視，為此必須對(duì)磨削加工引起的殘余應(yīng)力分布狀況進(jìn)行計(jì)算，并據(jù)此進(jìn)行誤差補(bǔ)償。目前對(duì)磨削殘余應(yīng)力的研究多集中于對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，而從理論上確定磨削加工殘余應(yīng)力分布狀況則是今后需要深入研究且具有應(yīng)用價(jià)值的工作。