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為了更好地對(duì)關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃和工作空間軌跡規(guī)劃擬合曲線進(jìn)行分析，對(duì)兩種軌 跡規(guī)劃方法得到的Delta機(jī)器人工作空間整體擬合曲線進(jìn)行對(duì)比如圖3-19所示，紅色實(shí) 線和綠色虛線分別表示工作空間和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的工作空間擬合曲線，圖（a) 為工作空間內(nèi)的整體位移曲線圖，圖（b)為末端執(zhí)行器水平轉(zhuǎn)運(yùn)階段位移曲線放大圖，由圖可知，利用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法得到的擬合曲線在水平轉(zhuǎn)運(yùn)階段y軸方向的抖動(dòng)大約為9mm，抖動(dòng)的主要原因有兩方面：第一，在關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃中，對(duì)拐彎半徑控 制點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，以減小Delta機(jī)器人末端執(zhí)行器抓取和釋放物體的豎直運(yùn)行階段x軸方 向的抖動(dòng)，但是，增加了水平轉(zhuǎn)運(yùn)階段y軸方向的抖動(dòng)；第二，在關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃中， 選取的工作空間關(guān)鍵點(diǎn)不對(duì)稱。圖（c)、（d)為Delta機(jī)器人末端執(zhí)行器抓取和釋放物 體的豎直運(yùn)行階段放大圖，由圖可知，關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法得到的擬合曲線在x軸方 向分別有0.6mm、0.8mm的輕微抖動(dòng)。工作空間軌跡規(guī)劃方法得到的擬合曲線在X、j 軸方向沒有抖動(dòng)，結(jié)合圖3-12和3-16可知，利用工作空間軌跡規(guī)劃方法得到的工作空 間擬合曲線明顯好于利用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法得到的工作空間擬合曲線。

對(duì)擬合曲線圖3-11和3-17進(jìn)行對(duì)比，可知關(guān)節(jié)空間內(nèi)軌跡規(guī)劃得到的關(guān)節(jié)空間擬合曲線和工作空間軌跡規(guī)劃得到的關(guān)節(jié)空間擬合曲線速度、加速度峰值相差不大，但由 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線均連續(xù)可導(dǎo)，工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線連續(xù) 但不可導(dǎo)。

對(duì)擬合曲線圖3-12和3-16進(jìn)行對(duì)比，可知關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的工作空間擬合 曲線x軸方向的速度峰值小于工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線x軸方向的速度峰值， 而軸方向的速度峰值相差不大，即末端執(zhí)行器在中間轉(zhuǎn)運(yùn)階段速度峰值相差較大，在 抓取和釋放物體的豎直運(yùn)行階段速度峰值相差不大。

對(duì)擬合曲線圖3-13和3-18進(jìn)行對(duì)比，可知關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的力矩?cái)M合曲線 和工作空間軌跡規(guī)劃得到的力矩?cái)M合曲線峰值相近，但工作空間軌跡規(guī)劃得到擬合曲線 的功率峰值明顯大于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到擬合曲線的功率峰值，尤其是在末端執(zhí)行器 的中間轉(zhuǎn)運(yùn)階段，功率相差較大。

總結(jié)發(fā)現(xiàn)，在末端執(zhí)行器的豎直運(yùn)行階段，從末端執(zhí)行器水平方向是否抖動(dòng)、3^由 方向速度峰值大小、驅(qū)動(dòng)電機(jī)力矩峰值大小和功率峰值大小等方面考慮，工作空間軌跡 規(guī)劃得到的擬合曲線明顯好于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線；在末端執(zhí)行器的中間 轉(zhuǎn)運(yùn)階段，從末端執(zhí)行器x方向的速度峰值大小、驅(qū)動(dòng)電機(jī)力矩峰值大小和功率峰值大 小等方面考慮，關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線明顯好于工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬 合曲線。

基于以上Delta機(jī)器人的軌跡規(guī)劃結(jié)論，提出了關(guān)節(jié)空間和工作空間相結(jié)合的混合 軌跡規(guī)劃方法，在末端執(zhí)行器的豎直運(yùn)行階段采用工作空間軌跡規(guī)劃法，并進(jìn)行相應(yīng)的 動(dòng)力學(xué)優(yōu)化；在末端執(zhí)行器的中間轉(zhuǎn)運(yùn)階段采用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃法，并進(jìn)行相應(yīng)的動(dòng) 力學(xué)優(yōu)化。

3.6.1工作空間關(guān)鍵點(diǎn)的選取

利用混合軌跡規(guī)劃法對(duì)Delta機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃，也需要在工作空間中選取相應(yīng) 的工作空間關(guān)鍵點(diǎn)，其工作空間關(guān)鍵點(diǎn)如圖3-20所示。其中01、78黑色曲線段為抓取 和釋放物體的豎直運(yùn)行階段，為了避免水平方向的抖動(dòng)，使用工作空間軌跡規(guī)劃法進(jìn)行 軌跡規(guī)劃；其余藍(lán)色曲線段使用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃法進(jìn)行軌跡規(guī)劃，以提高機(jī)器人的控 制性能，關(guān)鍵點(diǎn)2、6為拐彎半徑控制點(diǎn)。

3.6.2混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型

混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型是關(guān)節(jié)空間和工作空間軌跡規(guī)劃相結(jié)合的數(shù)學(xué)模 型，工作空間軌跡規(guī)劃曲線段01、78段使用工作空間軌跡規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，如公式（3- 3)、（3-4)、（3-5)所示；其余關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃曲線段使用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃數(shù)學(xué)模型， 如公式（3-6)至（3-11)所示。值得注意的是，選取的工作空間關(guān)鍵點(diǎn)1、7是工作空 間軌跡規(guī)劃法和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃法的銜接關(guān)鍵點(diǎn)，該關(guān)鍵點(diǎn)的位移是確定值，速度、 加速度需要人為給定，關(guān)鍵點(diǎn)處的速度和加速度選擇是否合理關(guān)系到該點(diǎn)兩側(cè)速度變化 曲率和加速度變化數(shù)值大小，這里僅以關(guān)節(jié)空間左驅(qū)動(dòng)電機(jī)擬合曲線為例進(jìn)行說明。

當(dāng)速度選擇不合理時(shí)，該關(guān)鍵點(diǎn)（0.2s附近，藍(lán)、紅色曲線銜接處）成為速度擬合 曲線的尖點(diǎn)（曲線上明顯突出的點(diǎn)），并且該關(guān)鍵點(diǎn)附近加速度很大，如圖3-21、3-22所 示，分別為關(guān)鍵點(diǎn)處速度選擇較小、較大時(shí)關(guān)節(jié)空間左驅(qū)動(dòng)電機(jī)速度、加速度擬合曲線。

當(dāng)加速度選擇不合理時(shí)，該關(guān)鍵點(diǎn)成為速度曲線的曲率變化關(guān)鍵點(diǎn)，并且該關(guān)鍵點(diǎn) 處的加速度出現(xiàn)尖點(diǎn)，如圖3-23、3-24所示，分別為關(guān)鍵點(diǎn)處加速度選擇較小、較大時(shí) 的關(guān)節(jié)空間左驅(qū)動(dòng)電機(jī)速度、加速度擬合曲線。

當(dāng)關(guān)鍵點(diǎn)處的速度、加速度選擇不合理時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)工作空間位移擬合曲線過沖, 速度擬合曲線抖動(dòng)較大，加速度擬合曲線峰值較大，所需驅(qū)動(dòng)電機(jī)力矩峰值和功率峰值 急劇增加的現(xiàn)象，這里不再贅述。

3.6.3動(dòng)力學(xué)軌跡優(yōu)化模型

混合軌跡規(guī)劃的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型，結(jié)合了工作空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的 動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型，在工作空間軌跡規(guī)劃曲線段01、78段使用工作空間動(dòng)力學(xué)軌跡優(yōu)化 數(shù)學(xué)模型，如公式（3-15)、（3-16)、（3-17)所示；其余關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃曲線段使用關(guān) 節(jié)空間動(dòng)力學(xué)軌跡優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，如公式（3-12)、（3-13)、（3-14)所示。

Delta機(jī)器人混合空間軌跡規(guī)劃流程如圖3-25所示，其中判斷1為選取的工作空間 關(guān)鍵點(diǎn)處速度、加速度是否合理，即關(guān)節(jié)空間中擬合曲線，位移是否過沖，速度是否為 尖點(diǎn)，加速度是否很大或者為尖點(diǎn)，以及所需驅(qū)動(dòng)電機(jī)力矩峰值和功率峰值是否較大。 判斷2、3與工作空間軌跡規(guī)劃流程圖3-15中判斷1、2相同；判斷4、5與關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃流程圖3-10中判斷1、2相同。

3.6.4軌跡規(guī)劃曲線分析

根據(jù)Delta機(jī)器人關(guān)節(jié)空間和工作空間的混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型及其動(dòng)力 學(xué)優(yōu)化模型，編寫機(jī)器人的Python語言混合空間軌跡規(guī)劃程序，得到的擬合曲線如圖3- 26, 3-27, 3-28所示，其中，左右紅色、綠色曲線為關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線， 左右藍(lán)色、黑色曲線為工作空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線。

圖3-26為混和軌跡規(guī)劃法得到的關(guān)節(jié)空間左右驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合曲線，由上至 下分別表示驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角位移、速度、加速度，由圖可以看出，關(guān)節(jié)空間內(nèi)的位移、速度 擬合曲線均連續(xù)可導(dǎo)，加速度擬合曲線連續(xù)但不可導(dǎo)。左右驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度大小均小于8 rad/s,加速度峰值大小分別小于200rad/?、150rad//。

圖3-27為混合軌跡規(guī)劃法得到的工作空間內(nèi)末端執(zhí)行器x軸方向和y軸方向擬合 曲線，由上至下分別表示末端執(zhí)行器的位移、速度、加速度擬合曲線，由圖可以看出， 利用以上混合軌跡規(guī)劃五次樣條函數(shù)模型及其動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型，得到的工作空間內(nèi)末端 執(zhí)行器的位移、速度擬合曲線均連續(xù)可導(dǎo)，加速度擬合曲線連續(xù)但不可導(dǎo)，擬合曲線x 軸方向和y軸方向速度峰值大小約為3m/s，加速度峰值大小為60m//，得到的工作 空間內(nèi)的x、y軸方向速度、加速度擬合曲線的峰值相差較小。

圖3-27末端執(zhí)行器擬合曲線

圖3-28為混合軌跡規(guī)劃法動(dòng)力學(xué)優(yōu)化后得到的關(guān)節(jié)空間內(nèi)驅(qū)動(dòng)電機(jī)力矩和功率擬 合曲線，由圖可知，左右驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)力矩?cái)M合曲線和功率擬合曲線均連續(xù)但不可導(dǎo)，左驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)力矩?cái)M合曲線大小小于80，m,右驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)力矩?cái)M合曲線大小小于等于90，m, 左右關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩有一■定差距；同樣，左右驅(qū)動(dòng)電機(jī)的功率擬合曲線為取值后的擬 合曲線，左驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)功率擬合曲線大小小于400vv,右驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)功率擬合曲線大小小于 550vv,左右關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)功率大小相差較大。