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　　1 橢圓曲線擬合的砂輪修形原理在刃磨螺旋槽滾刀時，砂輪的磨削面會與滾刀的前刀面發(fā)生干涉，使磨削出的滾刀前刀面出現(xiàn)畸變，呈中凸形，從而使加工出來的齒輪齒形畸變，節(jié)線附近出現(xiàn)中凹，無法正常嚙合，因此，在刃磨大螺旋槽滾刀時，必須用相應(yīng)的砂輪修形裝置來對砂輪的磨削面進行正確修形。磨削大螺旋角滾刀時的嚙合線是一條十分復(fù)雜的空間曲線（嚙合方程見參考文獻[1]），反映出的砂輪軸截形也十分復(fù)雜，通常難以用顯式函數(shù)予以描述，只能通過求解嚙合方程得到砂輪軸截形的數(shù)值解，即用一系列點的坐標描述:{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}。從相關(guān)文獻的計算結(jié)果來看，盡管砂輪軸截形的曲線復(fù)雜，但十分光滑，在整個工作區(qū)段內(nèi)曲率呈均勻連續(xù)變化，無尖點、無突變，呈中凸形。砂輪的軸截形與滾刀參數(shù)、砂輪直徑密切相關(guān)，不同的滾刀、砂輪有不同的砂輪軸截形，因此，必須有一種砂輪修形裝置能對不同的滾刀砂輪進行調(diào)整。鑒于這種情況，我們利用“橢圓曲線擬合”的方法設(shè)計了如圖1所示的砂輪修形儀，進口機床AGW482就是利用該方法來對砂輪進行修形的，這里我們針對國產(chǎn)機床進行了改進。為所設(shè)計修形儀的結(jié)構(gòu)原理圖。廓形塊上面有一下凹的圓弧面r，當(dāng)廓形塊繞自身軸線y1轉(zhuǎn)過一個角度α（由量塊或游標卡尺測量距離E1）時，相當(dāng)于平面斜截圓弧面，形成橢圓曲線f（x，y）。廓形塊下有一托盤，可帶動廓形塊繞軸線z1轉(zhuǎn)過一個角度β（由量塊或游標卡尺測量距離E3），相當(dāng)于改變橢圓相對于砂輪截形的傾角。支架可帶動廓形塊沿x1方向移動，位置由量塊或游標卡尺測量距離E2。靠模螺釘可微調(diào)橢圓相對于砂輪磨削面的高低位置由E4決定。為方便研究，建立如圖2所示的坐標系。σ（oxy）為砂輪軸截形坐標系，σ1（o1-x1y1）為橢圓坐標系，原點o1在σ（o-xy）的坐標為（x0，y0）。利用坐標變換可得到橢圓在砂輪軸截形坐標系σ（o-xy）中的方程為:f（x，y）=[（x-x0）sinβ-（y-y0）cosβ]2sin2α+[（y-y0）sinβ-（x-x0）cosβ]2-r2=0（1）由于r值對橢圓形狀影響較大，我們做了三個廓形塊（快換，分別加工成不同圓弧面）以供選擇，r=30，45，60mm。這樣只要E1、E2、E3、E4、r五個參量選得合適，就能獲得一條與砂輪軸截形擬合度較高的橢圓曲線段來對砂輪進行修形。
       2 修形儀調(diào)整參數(shù)的優(yōu)化計算要確定橢圓方程（1）:f（x，y），需要給定一組{α，β，x0，y0，r}值，問題的關(guān)鍵在于找到一組{α，β，x0，y0，r}值，使橢圓曲線f（x，y）與砂輪軸截形曲線（即理論廓形:{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}）間的誤差zui小，在這里引入了下列優(yōu)化設(shè)計方法。2.1修形儀調(diào)整參數(shù)的優(yōu)化模型選取{α，β，x0，y0，r}為設(shè)計變量:X=[α，β，x0，y0，r]T，修形儀調(diào)整參數(shù){E1，E2，E3，E4}由橢圓的形狀及位置參數(shù){α，β，x0，y0，r}計算得到。當(dāng)把砂輪軸截形曲線若干離散點的坐標{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}代入橢圓方程（1）:f（x，y）時，有剩余誤差:εi=fi（xi，yi）:i=1，2，…n。為使橢圓曲線與砂輪軸截形曲線擬合誤差（即總的剩余誤差εI）zui小，可以把剩余誤差的均方差的平方和剩余誤差平方的zui大值作為我們的優(yōu)化目標，即使均方差和zui大偏差zui小。兩者取相同的權(quán)重，則優(yōu)化的目標函數(shù)為Ø（X）=1nΣi=1（ω-&εi）2+max（ε2i）n-1（2）式中ω為平均誤差，ω=1nΣi=1εin這樣該目標函數(shù)既控制了擬合的總誤差，也可防止個別點出現(xiàn)大的偏差。根據(jù)修形儀和機床的結(jié)構(gòu)，可以建立約束函數(shù)。2.2程序設(shè)計及計算求解上述優(yōu)化問題采用的是懲罰函數(shù)法（SUMT），程序中調(diào)用了無約束優(yōu)化鮑威爾法（POWELL）。程序自動生成罰函因子r0，經(jīng)過試算修改后可以較好地保證收斂速度和計算精度，對調(diào)整參數(shù){E1，E2，E3，E4}的計算精度可達到0.01～0.001mm。選定一把帶有螺旋容屑槽的滾刀，滾刀參數(shù)為:滾刀外徑d=158.5mm，前刀面導(dǎo)程H=2300mm，螺旋角θ=10°15'47"，前刀面深T=31mm，選取砂輪直徑D=150mm。計算結(jié)果如下:設(shè)計變量X=[α，β，x0，y0，r]T=[4.89，4.08，-24.09，49.39，30]T，目標函數(shù)Ø（X）=0.2906752，調(diào)整參數(shù){E1，E2，E3，E4}={13.66，15.05，9.86，8.10}。
       3 擬合誤差分析計算由于優(yōu)化目標函數(shù)并不能直觀地反映擬合誤差的大小、方向和分布情況，因此我們有必要對擬合誤差進行理論分析，以檢驗所建優(yōu)化模型是否正確。由于砂輪的法向誤差對滾刀的磨削精度影響較大，同時也比較直觀，因此我們選取砂輪的法向誤差進行分析。3.1法向誤差的求解過橢圓（即實際廓形）上任意一點Q（x'，y'）作法線，與砂輪軸截形曲線（即理論廓形）交于一點P（xi，yi），則該法線方程為y-yi=k（x-xi）（3）式中法線斜率k可由橢圓方程（1）求出，即k=-dx/dy（4）PQ兩點之間的距離即為Q點的法向誤差，有δi=±√（xi-x'）2+（yi-y'）2（5）規(guī)定當(dāng)誤差為正值時，砂輪實際點在理論點之外，為負值時實際點在理論點之內(nèi)。P（xi，yi）為{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}上的已知點，由式（1），（3）和（4）可求出法線與橢圓（有效段）的交點坐標Q（x'，y'），由式（5）可得到Q點的法向誤差δi，通過比較P和Q兩點坐標值的大小，可以判斷法向誤差的正負。把{Mi（xi，yi）:i=1，2，…n}各點代入式（5）即可求得各擬合點的法向誤差δi，由此可直觀地看出沿徑向（砂輪廓形方向）擬合誤差的分布情況（見圖3）。3.2程序設(shè)計及計算在上述計算法向誤差的過程中，需要反復(fù)求解一個一元高次方程，為此我們編制了計算程序。由于解的區(qū)間較易確定，我們采用了二分法[3]。對上述優(yōu)化結(jié)果進行誤差分析，并由計算機直接輸出圖3所示的各點擬合誤差的誤差分布情況。其中zui大偏差δmax=0.000824mm，平均誤差ω=0.000281mm，均方根差σ=0.000359mm。從以上誤差分析可以看出，擬合精度足以滿足砂輪修形的要求。
        4 試驗及結(jié)論針對上述求解過程所編制的完整計算程序能對任意一把要刃磨的螺旋槽滾刀進行計算。其程序運行過程如下:輸入滾刀參數(shù)→計算砂輪軸截形→優(yōu)化修形儀調(diào)整參數(shù)計算擬合誤差→輸出數(shù)據(jù)及圖形。我們選取螺旋角在5～22°之間的滾刀，應(yīng)用該程序進行計算，理論上擬合誤差大都在0.01～0.001mm之間。用該修形儀對砂輪進行修形磨刀試驗，其刃磨滾刀前刀面的實際誤差在0.02～0.07mm之間。基本上通過一次刃磨即能達到*滾刀精度的要求。經(jīng)上述計算和試驗證明，所建模型正確，而且設(shè)計的砂輪修形儀比進口機床AGW482修形裝置的調(diào)整參數(shù)更多，修形精度更高。編制的調(diào)整參數(shù)計算程序能對任意一把滾刀進行計算，通過調(diào)整修形儀修整砂輪對滾刀進行刃磨，解決了國產(chǎn)滾刀磨床刃磨大螺旋角滾刀時砂輪修形的難題。該修形儀可用在多種滾刀磨床上，對現(xiàn)有國產(chǎn)機床進行改造也不失為一種簡單易行、經(jīng)濟可靠的方法。